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    于是明显地，假如意式是数，诸单位就并非全可相通，在〈前述〉两个方式中也不能说它们全不相通。但其他某些人关于数的议论方式也未为正确。那些不主于意式，也不以意式为某些数列的人，他们认为世上存在有数理对象而列数为现存万物中的基本实是，”本1”又为列数之起点。这是悖解的：照他们的说法，在诸1中有一”原1”〈第一个1〉，却在诸2中并不建立”原2”〈第一个2〉，诸3中也没有”原3”〈第一个3〉。同样的理由应该适用于所有各数。关于数，假使事实正是这样，人们就会得想到惟有数学之数实际存在，而1并非起点（因这样一类的1将异于其它诸1；而2，也将援例存在有第一个2与诸2另作一类，以下顺序各数也相似）。

    但，假令1正为万物起点，则关于数理之实义，毋宁以柏拉图之说为近真，”原2”与”原3”便或当为理所必有，而各数亦必互不相通。反之，人苟欲依从此说，则又不能免于吾人上所述若干不符事实之结论。但，两说必据其一，若两不可据，则数便不能脱离于事物而存在。

    这也是明显的，这观念的第三翻版最为拙劣——这就是意式之数与数学之数为相同之说。这一说合有两个错误。

    （一）数学之数不能是这一类的数，只有持此主张的人杜撰了某些特殊的线索才能纺织起来。（二）主张意式数的人们所面对着的一切后果他也得接受。

    毕达哥拉斯学派的数论，较之上述各家较少迷惑，但他们也颇自立异。他们不把数当作独立自在的事物，自然解除了许多疑难的后果；但他们又以实体为列数所成而且实体便是列数，这却是不可能的。这样来说明不可区分的空间量度是不真确的；这类量度无论怎么多怎么少，诸1是没有量度的；一个量度怎能由不可区分物来组成？算术之数终当由抽象诸1来组成。但，这些思想家把数合同于实物；至少他们是把实物当作列数所组成，于是就把数学命题按上去。

    于是，数若为一自存的实物，这就必需在前述诸方式中的一式上存在，如果不能在前述的任何一式上存在，数就显然不会具有那样的性质，那些性质是主张数为独立事物的人替它按上去的。

    又，是否每个单位都得之于”平衡了的大与小”抑或一个由”小”来另一个由”大”来？（甲）若为后一式，每一事物既不尽备所有的要素，其中各单位也不会没有差异；因为其中有一为大，另一为与大相对反的小。在”本3”中的诸单位又如何安排？其中有一畸另单位。但也许正是这缘由，他们以”本一”为诸奇数中的中间单位。（乙）但两单位若都是平衡了的大与小，那作为整个一件事物的2又怎样由大与小组成？或是如何与其单位相异？又，单位是先于2；因为这消失，2也随之消失。于是1将是一个意式的意式，这在2以前先生成。那么，这从何生成？不是从”未定之2”，因为”未定之2”的作用是在使”倍”。

    再者，数必须是无限或是有限（因为这些思想家认为数能独立存在，并就应该在两老中确定其一）。清楚地，这不能是无限；因为无限数是既非奇数又非偶数，而列数生成非奇必偶，非偶必奇。其一法，当1加之于一个偶数时，则生成一个奇数；另一法，当1被2连乘时，就生成2的倍增数；

    又一法当2的倍增数，被奇数所乘时就产生其它的偶数。

    又，假如每一意式是某些事物的意式，而数为意式，无限数本身将是某事物（或是可感觉事物或是其它事物）的一个意式。可是这个本身就不合理，而照他们的理论也未必可能，至少是照他们的意式安排应为不可能。

    但，数若为有限，则其极限在那里？关于这个，不仅该举出事实，还得说明理由。倘照有些人所说数以10为终，则通式之为数，也就仅止于10了；例如3为”人本”，又以何数为”马本”？作为事物之本的若干数列遂终于10。这必须是在这限度内的一个数，因为只有这些数才是本体，才是意式。可是这些数目很快就用尽了；动物形式的种类着实超过这些数目。同时，这是清楚的，如依此而以意式之”3”为”人本”，其它诸3亦当如兹（在同数内的诸）亦当相似），这样将是无限数的人众；假如每个3均为一个意式，则诸3将悉成”人本”，如其不然，诸3也得是一般人众。又，假如小数为大数的一部分（姑以同数内的诸单位为可相通），于是倘以”本4”为”马”或”白”或其它任何事物的意式，则若人为2时，便当以人为马的一个部分。这也是悖解的，可有10的意式，而不得有11与以下各数的意式。又，某些事物碰巧是，或也实际是没有通式的；何以这些没有通式？我们认为通式不是事物之原因。又，说是由1至10的数系较之本10更应作为实物与通式，这也悖解。本10是作为整体而生成的，至于1至10的数系，则未见其作为整体而生成。他们却先假定了1至10为一个完整的数系。至少，他们曾在10限以内创造了好些衍生物——例如虚空，比例，奇数以及类此的其它各项。他们将动静，善恶一类事物列为肇始原理，而将其它事物归之于数。所以他们把奇性合之于1；因为如以3作奇数之本性则5又何如？

    又，对于空间量体及类此的事物，他们都用有定限的数来说明；例如，第一，不可分线，其次2，以及其它；这些都进到10而终止。

    再者，假如数能独立自存，人们可以请问那一数目为先，——1或3或2？假如数是组合的，自当以1为先于，但普遍性与形式若为先于，那么列数便当为先于；因为诸1只是列数的物质材料，而数才是为之作用的形式。在某一涵义上，直角为先于锐角，因为直角有定限，而锐角犹未定，故于定义上为先；在另一涵义上，则锐角为先于，因为锐角是直角部分，直角被区分则成诸锐角。作为物质，则锐角元素与单位为先于；但于形式与由定义所昭示的本体而论，则直角与”物质和形式结合起来的整体”应为先于；因为综合实体虽在生成过程上为后，却是较接近于形式与定义。那么，1安得为起点？他们答复说，因为1是不可区分的；但普遍性与个别性或元素均不可区分。而作为起点则有”始于定义”与”在时间上为始”的分别。那么，1在那一方面为起点？上曾言及，直角可被认为先于锐角，锐角也可说是先于直角，那么直角与锐角均可当作1看。他们使1在两方面都成为起点。

    但这是不可能的。因为普遍性是由形式或本体以成一，而元素则由物质以成一，或由部分以成一。两者（数与单位）各可为一——实际上两个单位均各潜在（至少，照他们所说不同的数由不同种类的单位组成，亦就是说数不是一堆，而各自一个整体，这就该是这样），而不是完全的实现。他们所以陷入错误的原因是他们同时由数理立场又由普遍定义出发，进行研究，这样（甲）从数理出发，他们以1为点，当作第一原理；因为单位是一个没有位置的点。（他们象旁的人也曾做过的那样，把最小的部分按装成为事物。）于是”1”成为数的物质要素，同时也就先于2；而在2当作一个整数，当作一个形式时，则1又为后于。然而，（乙）因为他们正在探索普遍性，遂又把”1”表现为列数形式涵义的一个部分。但这些特性不能在同时属之同一事物。

    假如”本1”必须是无定位的单元（因为这除了是原理外，并不异于它1），2是可区分的，但1则不可区分，1之于”本1”较之于2将更为相切近，但，1如切近于”本1”，”本1”之于1也将较之于2为相切近；那么2中的各单位必然先于2。然而他们否认这个；至少，他们曾说是2先创生。

    又，假如”本2”是一个整体，”本3”也是一个整体，两者合成为2〈两个整体〉。于是，这个”2”所从产生的那两者又当是何物呢？

    章九

    因为列数间不是接触而是串联，例如在2与3中的各单位之间什么都没有，人们可以请问这些于本1是否也如此紧跟着，紧跟着本1的应是2抑或2中的某一个单位。

    在后于数的各级事物——线，面，体——也会遭遇相似的迷难。有些人由”大与小”的各品种构制这些，例如由长短制线，由阔狭制面，由深浅制体；那些都是大与小的各个品种。这类几何事物之肇始原理〈第一原理〉，相当于列数之肇始原理，各家所说不同。在这些问题上面，常见有许多不切实的寓言与理当引起的矛盾。（一）若非阔狭也成为长短，几何各级事物便将互相分离。（但阔狭若合于长短，面将合于线，而体合于面；还有角度与图形以及类此诸事物又怎样能解释？）又（二）在数这方面同样的情形也得遭遇；因为”长短”等是量度的诸属性，而量度并不由这些组成，正象线不由”曲直”组成或体不由平滑与粗糙组成一样。

    所有这些观点所遇的困难与科属内的品种在论及普遍性时所遇的困难是共通的，例如这参于个别动物之中的是否为”意式动物”抑其它”动物”。假如普遍性不脱离于可感觉事物，这原不会有何困难；若照有些人的主张一与列数皆相分离，困难就不易解决；这所谓”不易”便是”不可能”。因为当我们想到2中之一或一般数目中的一，我们所想的正是意式之一抑或其它的一？

    于是，有些人由这类物质创制几何量体，另有些人由点来创制，——他们认为点不是1而是与1相似的事物——

    也由其它材料如与”1”不同的”众”来创制；这些原理也得遭遇同样严重的困难。因为这些物质若相同，则线，面，体将相同；由同样元素所成事物亦必相同。若说物质不止一样，其一为线之物质，另一为面，又一为体，那么这些物质或为互涵，或不互涵，同样的结果还得产生；因为这样，面就当或含有线或便自己成了线。

    再者，数何能由”单与众”组成，他们并未试作解释；可是不管他们作何解释，那些主张”由1与未定之2”来制数的人所面对着的诸驳议，他们也得接受。其一说是由普遍地云谓着的”众”而不由某一特殊的”众”来制数，另一说则由某一特殊的众即第一个众来制数；照后一说，2为第一个众。所以两说实际上并无重要差别，相同的困难跟踪着这些理论——由这些来制数，其方法为如何，搀杂或排列或混和或生殖？以及其它诸问题。在各种疑难之中，人们可以独执这一问题，”假如每一单位为1，1从何来？”当然，并非每个1都是”本1”。于是诸1必须是从”本1”与”众”或众的一部分来。要说单位是出于众多，这不可能，因为这是不可区分的；由众的一部分来制造1也有许多不合理处；因为（甲）每一部分必须是不可区分的（否则所取的这一部分将仍还是众，而这将是可区分的），而”单与众”就不成其为两要素了；因为各个单位不是从”单与众”创生的。（乙）执持这种主张的人不做旁的事，却预拟了另一个数；因为它的不可区分物所组成的众就是一个数。

    又，我们必须依照这个理论再研究数是有限

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